Twitterの「鍵垢」のような運用をマストドンでやる方法です。まずは気になる要素ぜんぶ隠す方法から。
自分のアカウントのページをブラウザで開いて「プロフィールを編集」
「承認制アカウントにする」チェック入れる（鍵マークがつきます）
「ディレクトリに掲載する」チェック外す
「繋がりを隠す」チェック入れる
「ユーザー設定」→「その他」
「検索エンジンによるインデックスを拒否する」チェック入れる
「投稿の公開範囲」を「フォロワー限定」にする
ここで設定した公開範囲は基本のもので、投稿するときに個別に公開範囲を変えることもできます。つまり、ふだんは鍵垢として非公開にしながら、特定の投稿だけ世界に向けて発信みたいな運用をすることも可能です。公開垢と鍵垢に分けなくてすむのでおすすめです。
あとはお好みで、繋がりくらい公開してもいいかなとか、デフォルトでは投稿を公開にしておいて特定の投稿だけ隠せばいいかなとか、用途に合わせて設定を直してください。
Twitterよりかなり細かくかつ柔軟に設定ができます。
なお、公開中のアカウントを途中からすべて非公開にすることはできません。すでに「公開」「未収載」などで投稿したものは公開されたままになります。「削除して下書きに戻す」で公開範囲を変えて投稿し直せば隠せるけど、たくさんあると大変ですよね…。
※2023/07/23補足
Twitterの非公開アカウントとは異なり、お気に入りやブーストなどのリアクションは相手に必ず通知が届きます。完全に隠れたい場合はご注意ください。